带端流形上Poisson半群的双权不等式

设$M = \mathbb R^m \sharp \mathcal R^n$为具有两个端$\mathbb R^m \sharp \mathcal R^n$的非加倍流形，$m > n \ge 3$。设$\Delta$为在$L^2(M)$上非负自伴的Laplace–Beltrami算子。则$\Delta$及其平方根$\sqrt{\Delta}$分别生成$L^2(M)$上的半群$e^{-t\Delta}$和$e^{-t\sqrt{\Delta}}$。我们给出此情形下Poisson半群$e^{-t\sqrt{\Delta}}$的双权不等式成立的测试条件。特别地，我们证明对$M_{+}:=M\times (0,\infty)$上的测度$\mu$和$M$上的$\sigma$：$$\|\mathsf{P}_\sigma(f)\|_{L^2(M_{+};\mu)} \lesssim \|f\|_{L^2(M;\sigma)},$$其中$\mathsf{P}_\sigma(f)(x,t):= \int_M \mathsf{P}_t(x,y)f(y) \,d\sigma(y)$，当且仅当Poisson半群及其伴随的测试条件成立。进一步，算子的范数被证明等价于这些测试条件中的最佳常数。