$g$ 函数的双权范数不等式

给定 $\mathbb R ^{n}$ 上的两个权重 $\sigma, w$，经典的 $g$-函数满足范数不等式 $\lVert g (f\sigma)\rVert_{L ^2 (w)} \lesssim \lVert f\rVert_{L ^2 (\sigma)}$，当且仅当双权 Muckenhoupt $A_2$ 条件成立，且一族测试条件成立，即 \begin{equation*} \iint_{Q (I)} (\nabla P_t (\sigma \mathbf 1_I)(x, t))^2 \; dw \, t dt \lesssim \sigma (I) \end{equation*} 对所有立方体 $I \subset \mathbb R ^{n}$ 一致成立，其中 $Q (I)$ 是 $I$ 上的 Carleson 盒。Wilson 的内蕴平方函数也有相应的刻画。