Littlewood-Paley $g_{\lambda}^{*}$-函数的双权范数不等式的刻画

设 $n\ge 2$，$g_{\lambda}^{*}$ 为著名的由E. M. Stein定义并研究的高维Littlewood-Paley函数，\begin{align*} g_{\lambda}^{*}(f)(x) =\bigg(\iint_{\mathbb R^{n+1}_{+}} \Big(\frac{t}{t+|x-y|}\Big)^{n\lambda} |\nabla P_tf(y,t)|^2 \frac{dy dt}{t^{n-1}}\bigg)^{1/2}, \ \quad \lambda > 1, \end{align*} 其中 $P_tf(y,t)=p_t*f(y)$，$p_t(y)=t^{-n}p(y/t)$ 且 $p(x) = (1+|x|^2)^{-(n+1)/2}$，$\nabla =(\frac{\partial}{\partial y_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial y_n},\frac{\partial}{\partial t})$。本文给出 $g_{\lambda}^{*}$-函数双权范数不等式的刻画。我们证明，$\big\| g_{\lambda}^{*}(f \sigma) \big\|_{L^2(w)} \lesssim \big\| f \big\|_{L^2(\sigma)}$ 当且仅当双权Muchenhoupt $A_2$ 条件成立，且一个测试条件成立：\begin{align*} \sup_{Q : cubes \ in \mathbb R^n} \frac{1}{\sigma(Q)} \int_{\mathbb R^n} \iint_{\widehat{Q}} \Big(\frac{t}{t+|x-y|}\Big)^{n\lambda}|\nabla P_t(\mathbf{1}_Q \sigma)(y,t)|^2 \frac{w dx dt}{t^{n-1}} dy < \infty, \end{align*} 其中 $\widehat{Q}$ 为 $Q$ 上的Carleson盒，$(w, \sigma)$ 为一对权函数。我们实际上对与更一般的分数阶Poisson核 $p^\alpha(x) = (1+|x|^2)^{-{(n+\alpha)}/{2}}$ 相关联的 $g_{\lambda}^{*}$-函数证明了此刻画。此外，也给出了本质 $g_{\lambda}^*$-函数的相应结果。