非齐次空间上的多线性 Littlewood-Paley-Stein 算子

设 $\kappa \ge 2, \lambda > 1$，并如下定义多线性 Littlewood-Paley-Stein 算子 $$g_{\lambda,\mu}^*(\vec{f})(x) = \bigg(\iint_{\mathbb{R}^{n+1}_{+}} \vartheta_t(x, y) \bigg|\int_{\mathbb{R}^{n \kappa}} s_t(y,\vec{z}) \prod_{i=1}^{\kappa} f_i(z_i) \ d\mu(z_i)\bigg|^2 \frac{d\mu(y) dt}{t^{m+1}}\bigg)^{\frac12},$$ 其中 $\vartheta_t(x, y)=\big(\frac{t}{t + |x - y|}\big)^{m \lambda}$。本文主要旨在研究 $g_{\lambda,\mu}^*$ 在非齐次空间上的有界性。借助概率与二进制技术，结合非齐次分析，我们证明了在某些弱型假设下 $g_{\lambda,\mu}^*$ 从 $L^{p_1}(\mu) \times \cdots \times L^{p_{\kappa}}(\mu)$ 到 $L^p(\mu)$ 有界。多线性非卷积型核 $s_t$ 仅需满足比多线性 Calder\'{o}n-Zygmund 型核标准条件更弱的条件，且测度 $\mu$ 仅被假设为上加倍测度（非加倍）。上述结果即使在 Lebesgue 测度下也是新的。这是通过首先考虑基于端点假设的 $g_{\lambda,\mu}^*$ 强型有界性的充分条件，再从弱型假设直接推导大块上的强界而完成的。