非双称测度下非齐次Littlewood-Paley $g^*_{\lambda,\mu}$函数的 $L^p$ 均衡性

众所周知，经典Littlewood-Paley $g_{\lambda}^{*}$-函数的 $L^p$ 均衡性及弱 $(1,1)$ 估计（$\lambda>2$）最早由Stein等人研究，弱 $(p,p)$ 估计则由Fefferman在$\lambda=2/p$时给出。本文研究了非齐次Littlewood-Paley $g_{\lambda,\mu}^{*}$-函数的 $L^p(\mu)$ 均衡性，其中包含非卷积类型核和幂型有界测度$\mu$： $$g_{\lambda,\mu}^*(f)(x) = \bigg(\iint_{{\mathbb R}^{n+1}_{+}} \Big(\frac{t}{t + |x - y|}\Big)^{m \lambda} |\theta_t^\mu f(y)|^2 \frac{d\mu(y) dt}{t^{m+1}}\bigg)^{1/2},\ x \in {\mathbb R}^n,\ \lambda > 1,$$其中$\theta_t^\mu f(y) = \int_{{\mathbb R}^n} s_t(y,z) f(z) d\mu(z)$，且$s_t$为非卷积类型核。基于大块先验均衡性，我们首先给出 $g_{\lambda,\mu}^*$ $L^p(\mu)$ 均衡性的充分条件。通过非齐次好lambda方法实现。随后，采用 dyadic 分析方法，我们证明了大块全局 $Tb$ 定理。最后，我们获得了 $g_{\lambda,\mu}^*$ 函数 $L^p(\mu)$ 均衡性的充要条件。值得注意的是，我们的测试条件是关于测度的弱 $(1,1)$ 类型。