关于双参数 Littlewood-Paley $g_{\lambda}^{*}$ 函数的有界性

设 $m,n\ge 1$，$g_{\lambda_1,\lambda_2}^*$ 为双参数 Littlewood-Paley $g_{\lambda}^{*}$ 函数，定义为 $$g_{\lambda_1,\lambda_2}^*(f)(x)= \bigg(\iint_{\R^{m+1}_{+}} \big(\frac{t_2}{t_2 + |x_2 - y_2|}\big)^{m \lambda_2} \iint_{\R^{n+1}_{+}} \big(\frac{t_1}{t_1 + |x_1 - y_1|}\big)^{n \lambda_1}|\theta_{t_1,t_2} f(y_1,y_2)|^2 \frac{dy_1 dt_1}{t_1^{n+1}} \frac{dy_2 dt_2}{t_2^{m+1}} \bigg)^{1/2}, \lambda_1>1,\quad \lambda_2>1$$ 其中 $\theta_{t_1,t_2} f$ 是定义于 $\mathbb{R}^{m+n}$ 上的非卷积核。本文证明了双参数 Littlewood-Paley 函数 $g_{\lambda_1,\lambda_2}^*$ 从 $L^2(\R^{n+m})$ 到 $L^2(\R^{n+m})$ 有界。这是通过概率方法以及利用良好双 Whitney 区域上的新平均恒等式完成的。