$Q_{\alpha}(R^n)$ 空间的Littlewood-Paley刻画

在 Baraka 的论文 [2] 中，他得到了 Campanato 空间 $L^{2,\lambda}$ 的 Littlewood-Paley 刻画，并引入了 $\mathcal {L}^{p,\lambda,s}$ 空间。他证明了对于 $0\leq\lambda<n+2$，有 $\mathcal {L}^{2,\lambda,s}=(-\triangle)^{-\frac{s}{2}}L^{2,\lambda}$。在 [7] 中，利用分数阶 Carleson 测度的性质，J Xiao 证明了对于 $n\geq2$，$0<\alpha<1$，$(-\triangle)^{-\frac{\alpha}{2}}L^{2,n-2\alpha}$ 本质上是 [4] 中引入的 $Q_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 空间。于是我们可以得出结论：对于 $0<\alpha<1$，$Q_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\mathcal {L}^{2,n-2\alpha,\alpha}$。事实上，这个结果也可以直接利用 [2] 中的方法得到。在本文中，我们按照 [2] 的思路证明了这一结果。本文可视为 Baraka 工作 [2] 的补充。