Littlewood $L^\alpha$ 平坦定理的推广，$\alpha>0$

我们通过证明在单位圆上形如 $P_n(z)=\sum_{m=1}^{n}c_m z^m, n \in {\mathbb{N}}^*,$ 的解析多项式类中不存在 $L^\alpha$-平坦多项式（$\alpha>0$），建立了 Littlewood 关于 $L^\alpha$-平坦性的判据的推广，其中该多项式满足 $$\sum_{m=1}^{n}|c_m|^2 \leq \frac{K}{n^2} \sum_{m=1}^{n}m^2 |c_m|^2,$$ 这里 $K$ 是一个绝对常数。作为推论，我们证实了 $L^\alpha$-Littlewood 猜想，从而证实了 $L^1$-Newman 和 $L^\infty$-Erdős 猜想。我们的方法将 $L^\alpha$ Littlewood 定理与 $L^\alpha(X,\mathcal{A},m;B)$ 的广义 Clarkson 第二不等式相结合，其中 $B$ 为 Banach 空间且 $1 < \alpha \leq 2$。由此得出 Barker 序列只有有限多个，我们进一步给出了在数论和动力系统谱理论中的若干应用。最后，我们构造了 Mahler 平坦的 Gauss-Fresnel 多项式，提供了 Beller-Newman 定理的新证明。