$L^\alpha$ 多项式 Rudin 猜想的反证，$2 \leq \alpha<4$

本文证明了 $L^\alpha$-范数多项式 Rudin 猜想不成立。我们的反例受 Bourgain 关于 NLS 工作的启发，具体而言，受其对由二维 Weyl 和给出的周期解的 $L^6$-范数的 Strichartz 不等式的研究启发。我们还给出了此类解的 $L^\alpha$-范数在 $\alpha \neq 2$ 时的下界。由此，我们确立了对于任意 $0<a<b$，如下集合 $E(a,b)=\Big\{(x,t) \in \mathbb{T}^2 \; : \;a \sqrt{N} \leq \Big|\sum_{n=1}^{N}e(n^2t+nx)\Big| \leq b \sqrt{N} \; \textrm{~infinitely~often}\;\Big\}$ 的 Lebesgue 测度为 $0$。我们进一步基于 Paley-Littlewood 不等式给出了 Cordoba 定理的另一种证明。