L^1中加权平方平均的发散性

我们研究带多项式权重的沿平方的遍历平均的收敛性。对给定多项式 $P\in \mathbb{Z}[\cdot]$，考虑所有 $\theta\in[0,1)$ 的集合，使得对每个非周期系统 $(X,\mu, T)$ 存在一个函数 $f\in L^1(X,\mu)$，使得沿平方的加权平均 $${\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N} e(P(n)\theta)T^{n^2}f$$ 在正测度集上发散。我们证明该集合是剩余的，并包含有理数以及稠密的刘维尔数集。这一方面推广了第一作者与 Mauldin 关于 $L^1$ 中平方发散的结果，另一方面表明第二作者与 Krause 在 $L^p$（$p>1$）中关于平方线性权重收敛的结果在 $p=1$ 时不成立。