频率为平方数集合的三角多项式

令 $\gamma_0=\frac{\sqrt5-1}{2}=0.618\ldots$。我们证明，对任意 $\varepsilon>0$ 以及任意频率属于集合 $\{n^2: N \leqslant n\leqslant N+N^{\gamma_0-\varepsilon}\}$ 的三角多项式 $f$，不等式 $$\|f\|_4 \ll \varepsilon^{-1/4}\|f\|_2$$ 成立，这推进了 Cilleruelo 和 Cordoba 的一个猜想。我们还给出了该猜想与 Ruzsa 猜想之间的联系，后者断言对任意 $\varepsilon>0$，存在 $C(\varepsilon)>0$ 使得每个正整数 $N$ 在区间 $[N^{1/2}, N^{1/2}+N^{1/2-\varepsilon}]$ 中至多具有 $C(\varepsilon)$ 个因子。