双参数 Walsh 系统的 Littlewood-Paley-Rubio de Francia 不等式

证明了双参数 Walsh 系统的一个 Littlewood-Paley-Rubio de Francia 不等式版本：对于 ${\mathbb{Z}_+ \times \mathbb{Z}_+}$ 中任意一族互不相交的矩形 $I_k = I_k^1 \times I_k^2$ 以及一族 Walsh 谱包含在 $I_k$ 内的函数 $f_k$，以下不等式成立：$$\left\lVert\sum\limits_k f_k\right\rVert_{L^p} \leq C_p \left\lVert\left(\sum\limits_k \left|f_k\right|^2\right)^{1/2}\right\rVert_{L^p}, \qquad 1 < p \leq 2,$$ 其中 $C_p$ 不依赖于矩形族 $\left\{I_k\right\}$ 或函数族 $\left\{f_k\right\}$ 的选取。论证基于双参数鞅 Hardy 空间的原子理论。在证明过程中，我们给出了将鞅映射到可测函数的算子的有界性的 Gundy 定理的双参数版本，这或许具有独立的意义。