Rubio de Francia Littlewood Paley 不等式与方向极大函数

在 $R^d$ 中，通过 $$M^\directions f(x)=\sup_{v\in\directions} \sup_{\zve} \int_{-\ze}^\ze \abs{f(x-vy)} dy.$$ 定义方向 $v\in \directions\subset\{x \mid \abs x=1\}$ 上的极大函数。对 $\ZR^d$ 上的函数 $f$，令 $S_\zw f$ 表示 $f$ 到区域 $\zw$ 的 Fourier 限制。我们特别感兴趣于取 $\zw$ 为以原点为顶点的 $R^d$ 的扇区。扇区是区间 $(0,\infty)$ 关于某组（非正交）基的直积。最重要的是该基是 $\directions$ 的子集。考虑如上成对不交扇区 $\zw$ 的集合 $\zW$。假定对某个 $1<p<\zI$，$M^\directions$ 映射 $L^p$ 到 $L^p$。则我们有以下 Littlewood--Paley 不等式 $$\NORm \Bigl[\sum_{\zw\in\zW}\abs{S_\zw f}^2\Bigr]^{1/2}.q.\lesssim{}\norm f.q., \qquad 2\le q<2 \frac p{p-1}.$$ 该不等式的一维类比源于 Rubio de Francia。当向量集为固定基时结论是已知的，由 Journ\'e 得到。我们的证明方法依赖于相平面分析。我们引入适应于 $\directions$ 的 Carleson 测度概念，并证明这些测度的 John Nirenberg 不等式。John Nirenberg 不等式与一个显然的 $L^2$ 估计将证明该定理。