多参数 Vilenkin 系统的 Littlewood-Paley-Rubio de Francia 不等式

本文证明了有界多参数 Vilenkin 系统的 Littlewood-Paley-Rubio de Francia 不等式的一个版本：对任意一族不相交集合 $I_k = I_k^1 \times \ldots \times I_k^D \subseteq {\mathbb{Z}_+^D}$，其中 $I_k^d$ 为 $\mathbb{Z}_+$ 中的区间，以及一族 Vilenkin-Fourier 谱位于 $I_k$ 内的函数 $f_k$，如下式成立：$$\Bigl\|\sum_k f_k\Bigr\|_{L^p} \leq C \Bigl\|\bigl(\sum_k |f_k|^2\bigr)^{1/2}\Bigr\|_{L^p} , \qquad 1 < p \leq 2,$$ 其中 $C$ 不依赖于矩形 $\{I_k\}$ 或函数 $\{f_k\}$ 的选取。该结果属于将 Rubio de Francia 不等式（多参数）推广到局部紧阿贝尔群这一研究脉络。论证主要基于多参数鞅 Hardy 空间的原子理论，并作为副产品给出了易于使用的 Gundy 定理多参数版本，即取鞅到可测函数的算子有界性。此外，获得了主要结果的一些推广与推论，包括指数 $0 < p \leq 1$ 时的较弱不等式版本，以及针对一种奇异区间概念的单参数不等式示例。