任意正方形上的双线性 Rubio de Francia 不等式

我们证明了与频率平面上任意正方形集合（边平行于坐标轴）相关的光滑双线性 Rubio de Francia 算子的有界性$$\left(f, g \right)\mapsto \left( \sum_{\omega \in \Omega}\left| \int_{\mathbb{R}^2} \hat{f}(\xi) \hat{g}(\eta) \Phi_{\omega}(\xi, \eta) e^{2 \pi i x\left(\xi+\eta \right)} d \xi d \eta\right|^r \right)^{1/r},$$ 条件是 $r\textgreater{}2$。更确切地说，我们表明上述算子映射 $L^p \times L^q \to L^s$，只要 $p, q, s'$ 处于“局部 $L^{r'}$”范围内，即 $\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s'}=1$，$\displaystyle0 \leq \frac{1}{p}, \frac{1}{q} \textless{\frac{1}{r'}}$，且 $\displaystyle\frac{1}{s'}\textless{\frac{1}{r'}}$。注意我们允许 $s'$ 取负值，其对应于拟 Banach 空间 $L^s$。