带 Gegenbauer 权重的 Markov $L_2$ 不等式

对于 Gegenbauer 权函数 $w_{\lambda}(t)=(1-t^2)^{\lambda-1/2}$, $\lambda>-1/2$, 我们用 $\Vert\cdot\Vert_{w_{\lambda}}$ 表示相关的 $L_2$ 范数, $$\Vert f\Vert_{w_{\lambda}}:=\Big(\int_{-1}^{1}w_{\lambda}(t)f^2(t)\,dt\Big)^{1/2}.$$ 我们研究 Markov 不等式 $$\Vert p^{\prime}\Vert_{w_{\lambda}}\leq c_{n}(\lambda)\,\Vert p\Vert_{w_{\lambda}},\qquad p\in \mathcal{P}_n,$$ 其中 $\mathcal{P}_n$ 是次数不超过 $n$ 的代数多项式类。得到了最佳 Markov 常数 $c_{n}(\lambda)$ 的上界和下界，这些界对所有 $n\in \mathbb{N}$ 和 $\lambda>-\frac{1}{2}$ 均成立。