关于带拉盖尔权函数的$L_2$马尔可夫不等式

设$w_{\alpha}(t)=t^{\alpha}\,e^{-t}$, $\alpha>-1$为拉盖尔权函数，$|\cdot|_{w_\alpha}$表示关联的$L_2$-范数，即$$| f|_{w_\alpha}:=\Big(\int_{0}^{\infty}w_{\alpha}(t)| f(t)|^2\,dt\Big)^{1/2}.$$ 记${\cal P}_n$为次数不超过$n$的代数多项式集合。我们研究该范数下马尔可夫不等式中的最佳常数$c_n(\alpha)$，$$| p^{\prime}|_{w_\alpha}\leq c_n(\alpha)\,| p|_{w_\alpha}\,,\quad p\in {\cal P}_n\,,$$ 即常数$$c_{n}(\alpha)=\sup_{\mathop{}^{p\in {\cal P}_n}_{p\ne 0}}\frac{| p^{\prime}|_{w_\alpha}}{| p|_{w_\alpha}}\,,$$ 并且我们也关注其渐近值$$c(\alpha)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_{n}(\alpha)}{n}\,.$$ 本文我们得到了$c_{n}(\alpha)$和$c(\alpha)$的下界和上界。% 注意根据P. Dörfler 2002年的结果，$c(\alpha)=[j_{(\alpha-1)/2,1}]^{-1}$，其中$j_{\nu,1}$为贝塞尔函数$J_{\nu}(z)$的第一个正零点，因此我们对$c(\alpha)$的界也隐含了$j_{(\alpha-1)/2,1}$的界。