带 Laguerre 权的 Markov $L_2$-不等式

设 $w_\alpha(t) := t^{\alpha}\,e^{-t}$，其中 $\alpha > -1$，为 Laguerre 权函数，并设 $\|\cdot\|_{w_\alpha}$ 为相应的 $L_2$-范数，\n$$\|f\|_{w_\alpha} = \left\{\int_{0}^{\infty} |f(x)|^2 w_\alpha(x)\,dx\right\}^{1/2}\,.$$\n记 $\mathcal{P}_n$ 为次数 $\le n$ 的代数多项式集合。我们研究该范数下 Markov 不等式中的最佳常数 $c_n(\alpha)$\n$$\|p_n'\|_{w_\alpha} \le c_n(\alpha) \|p_n\|_{w_\alpha}\,,\qquad p_n \in \mathcal{P}_n\,,$$\n即常数\n$$c_n(\alpha) := \sup_{p_n \in \mathcal{P}_n} \frac{\|p_n'\|_{w_\alpha}}{\|p_n\|_{w_\alpha}}\,.$$\n我们导出了 Markov 常数 $c_n(\alpha)$ 以及渐近 Markov 常数\n$$c(\alpha)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_n(\alpha)}{n}\,.$$\n的显式下界与上界。