球上具倍增权重的加权 $L_p$ Markov 因子

设 $L_{p,w},\ 1 \le p<\infty,$ 表示单位球 $\Bbb B^d$ 上具倍增权重 $w$ 的加权 $L_p$ 函数空间。多项式 $P$ 在 $L_{p,w}$ 上的 Markov 因子定义为 $\frac{\|\, |\nabla P|\,\|_{p,w}}{\|P\|_{p,w}}$，其中 $\nabla P$ 为 $P$ 的梯度。我们研究了 $L_{p,w}\ (1\le p<\infty)$ 的最坏情形 Markov 因子，并得到这些因子的次数至多为 $2$。特别地，对于 Jacobi 权重 $w_\mu(x)=(1-|x|^2)^{\mu-1/2}, \ \mu\ge0$，指数 $2$ 是精确的。我们还研究了具独立 $N(0, \sigma^2)$ 系数的随机多项式在 $L_{2,w}$ 上的平均情形 Markov 因子，得到平均（期望）Markov 因子的上界为次数 $3/2$ 阶，而最坏情形上界为次数平方。