Stein-Weiss不等式的所有条件均为必要的

$\mathbf R^n \times \mathbf R^n$上著名的Stein-Weiss不等式，亦称为双重加权Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，断言在参数$n$、$p$、$r$、$\alpha$、$\beta$和$\lambda$的若干条件下，对任意$f\in L^p(\mathbf R^n)$和$g\in L^r(\mathbf R^n)$有$$\Big| \iint_{\mathbf R^n \times \mathbf R^n} \frac{f(x) g(y)}{|x|^\alpha |x-y|^\lambda |y|^\beta} dx dy \Big| \lesssim \| f \| _{L^p(\mathbf R^n)} \| g\| _{L^r(\mathbf R^n)}$$成立。将上式推广到不同于$\mathbf R^n \times \mathbf R^n$的域，或比经典奇异核$|x-y|^{-\lambda}$更一般的核类，是过去三十年来深入研究的课题。例如，已知有上半空间、Heisenberg群、齐性Lie群上的Stein-Weiss不等式。作为第一步，本工作属于研究乘积$\mathbf R^{n-k} \times \mathbf R^n$上如下不等式的一个系列：$$\Big| \iint_{\mathbf R^n \times \mathbf R^{n-k}} \frac{f(x) g(y)}{|x|^\alpha |x-y|^\lambda |y|^\beta} dx dy \Big| \lesssim \| f \| _{L^p(\mathbf R^{n-k})} \| g\| _{L^r(\mathbf R^n)}.$$针对上述新不等式的有效性，本工作通过构造合适的反例，建立了参数$n$、$p$、$r$、$\alpha$、$\beta$和$\lambda$对该提出不等式有效性所必需的全部条件。令人惊讶的是，这些必要条件应用于$k=1$的情形时表明，上半空间上现有的Stein-Weiss不等式尚处于参数$\lambda$的最优范围内。这或许反映了常用方法的局限性。文中还对齐性Lie群上的Stein-Weiss不等式以及Stein-Weiss不等式的反向形式作了评述。