非紧型对称空间上的函数不等式及其应用

本文旨在系统研究高阶非紧型对称空间上的函数不等式。本研究的第一个主要目标是在非紧型对称空间上针对 Riesz 位势建立 Stein-Weiss 不等式，也称为加权 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式。这是通过对基球函数利用多面体距离进行精细估计，并将 Ruzhansky 与 Verma 发展的积分 Hardy 不等式与 Anker 和 Ji 获得的非紧型对称空间上的尖锐 Bessel-Green-Riesz 核估计相结合而实现的。作为 Stein-Weiss 不等式的推论，我们推导出了非紧型对称空间上的 Hardy-Sobolev、Hardy-Littlewood-Sobolev、Gagliardo-Nirenberg 与 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式。本文的第二个主要目的是展示上述不等式在研究对称空间上非线性偏微分方程中的应用。具体而言，我们表明 Gagliardo-Nirenberg 不等式可用于建立对称空间上 Laplace-Beltrami 算子的带阻尼与质量项的半线性波动方程的小初值整体存在性结果。