具有最优常数和余项的非局部 Hardy 型不等式

利用基态变换，我们给出了 Herbst 的最优 Stein-Weiss 不等式 [\int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{\varphi (x)}{\abs{x}^\frac{\alpha}{2}} I_\alpha (x - y) \frac{\varphi (y)}{\abs{y}^\frac{\alpha}{2}}\dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N,\alpha, 0}\int_{\R^N} \abs{\varphi}^2,] 及其与 Beckner 的 Hardy 不等式 [\int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{\varphi (x)}{\abs{x}^\frac{\alpha + s}{2}} I_\alpha (x - y) \frac{\varphi (y)}{\abs{y}^\frac{\alpha + s}{2}}\dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N, \alpha, 1} \int_{\R^N} \abs{\nabla \varphi}^2,] 和分数阶 Hardy 不等式 [\int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{\varphi (x)}{\abs{x}^\frac{\alpha + s}{2}} I_\alpha (x - y) \frac{\varphi (y)}{\abs{y}^\frac{\alpha + s}{2}}\dif x \dif y \le \mathcal{C}_{N, \alpha, s} \mathcal{D}_{N, s} \int_{\R^N} \int_{\R^N} \frac{\bigabs{\varphi (x) - \varphi (y)}^2}{\abs{x-y}^{N+s}}\dif x \dif y] 的组合的新证明，其中 (I_\alpha) 是 Riesz 势，(0 < \alpha < N) 且 (0 < s < \min(N, 2))。我们还证明了常数的最优性。该方法具有灵活性，并得出了这些不等式中余项的尖锐表达式。