二阶 Bismut 公式及其在流形上 Neumann 半群的应用

设 $M$ 为带边界 $\partial M$ 的完备连通黎曼流形，$P_t$ 为由 $\frac{ 1}{ 2} L$ 生成的 Neumann 半群，其中 $L=\Delta+Z$，$Z$ 为 $M$ 上的 $C^1$ 向量场。我们建立了 $LP_t f$ 与 ${\rm Hess}_{P_tf}$ 的 Bismut 型公式，并在适当的曲率条件下给出了这些量的估计。当 $P_t$ 对某一概率测度 $\mu$ 在 $L^2(\mu)$ 中对称时，我们建立了一种新型对数 Sobolev 不等式，将相对熵 $H$、Stein 偏差 $S$ 与相对 Fisher 信息 $I$ 联系起来，推广了作者近期在无边界情形下的工作。