关于由 Dunkl 算子偶次幂之和生成的半群

在装备了正规根系 $R$、重数函数 $k\geq 0$ 以及相伴测度 $dw(\mathbf x)=\prod_{\alpha\in R} |\langle \mathbf x,\alpha\rangle|^{k(\alpha)}d\mathbf x$ 的欧氏空间 $\mathbb R^N$ 上，我们考虑微分-差分算子 $$L=(-1)^{\ell+1} \sum_{j=1}^m T_{\zeta_j}^{2\ell},$$ 其中 $\zeta_1,...,\zeta_m$ 是 $\mathbb R^N$ 中的非零向量，张成 $\mathbb R^N$，且 $T_{\zeta_j}$ 为 Dunkl 算子。$L$ 在 $L^2(dw)$ 上本质自伴，并生成一个线性自伴压缩半群 $\{S_t\}_{t \geq 0}$，其形式为 $S_tf(\mathbf x)=f*q_t(\mathbf{x})$，$q_t(\mathbf x)=t^{-\mathbf N/ (2\ell)}q(\mathbf x/ t^{1/ (2\ell)})$，其中 $q(\mathbf x)$ 是函数 $\exp(-\sum_{j=1}^m \langle \zeta_j,\xi\rangle^{2\ell})$ 的 Dunkl 变换。我们证明 $q(\mathbf x)$ 满足如下指数衰减： $$|q(\mathbf x)| \lesssim \exp(-c \| \mathbf x\|^{2\ell/ (2\ell-1)})$$ 对某个常数 $c>0$。此外，若 $q(\mathbf x,\mathbf y)=\tau_{\mathbf x}q(-\mathbf y)$，则 $|q(\mathbf x,\mathbf y)|\lesssim w(B(\mathbf x,1))^{-1} \exp(-c d(\mathbf x,\mathbf y)^{2\ell / (2\ell-1)})$，其中 $d(\mathbf x,\mathbf y)=\min_{\sigma\in G}\| \mathbf x- \sigma(\mathbf y)\|$，$G$ 为 $R$ 的反射群，$\tau_{\mathbf x}$ 表示 Dunkl 平移。