r-部图与矩阵的迹范数

图 $G$ 的迹范数 $\left\Vert G\right\Vert _{\ast}$ 是其奇异值之和，即其特征值绝对值之和。该范数 $\left\Vert G\right\Vert _{\ast}$ 以图能量之名被深入研究，此概念由 Gutman 于 1978 年引入。本文研究 $r$-部图的最大迹范数，这对 $r>2$ 提出了一些不寻常的问题。结果表明，若 $G$ 是阶为 $n$ 的 $r$-部图，则 $$\left\Vert G\right\Vert _{\ast}<\frac{n^{3/2}}{2}\sqrt{1-1/r}+\left( 1-1/r\right) n.$$ 对于某些特殊的 $r$，该界是紧的：例如，若 $r$ 是一个对称会议矩阵的阶，则对无穷多个 $n$，存在阶为 $n$ 的图 $G$ 满足 $$\left\Vert G\right\Vert _{\ast}>\frac{n^{3/2}}{2}\sqrt{1-1/r}-\left( 1-1/r\right) n.$$