$K_{t,t}$-自由图的强色指数

图 $G$ 的强边染色是指一种边染色 $\phi\,:\,E(G) \rightarrow \mathbb N$，其中的每个颜色类在 $G$ 中形成诱导匹配。图 $G$ 的强色指数记作 $\chi'_s(G)$，指完成 $G$ 的强边染色所需的最少颜色数。1985 年，Erd\H{o}s 和 Ne\v{s}et\v{r}il 猜想：若 $G$ 的最大度为 $d$，则 $\chi'_s(G) \leq \frac 54 d^2$。Mahdian 在 2000 年证明：若 $G$ 为 $C_4$-自由图，则 $\chi'_s(G) \leq (2+o(1)) \frac{d^2}{\log d}$，并猜测相同的上界对 $K_{t,t}$-自由图也成立。本文证明了该猜测，并将其改进为：每个最大度为 $d$ 的 $K_{t,t}$-自由图 $G$ 满足 $\chi'_s(G) \leq (1+o(1)) \frac{d^2}{\log d}$。我们采用 R"odl nibble 方法的一个变体来证明此结果。我们方法中新关键要素是：运用于表明 $H := L(G)^2$ 满足特定结构性质的 K\H{o}v\'ari-S\'os-Tur\'an 定理。这些性质结合 Talagrand 不等式的一个变体用于处理异常结果，使我们能够在 nibble 过程中集中某些顶点集合的大小，即使这些顶点集合的规模小于 $H$ 的最大代码度也可行。我们将这些结构性质封装为一个更一般的着色问题陈述，认为其独立性兴趣。鉴于平均情况复杂性理论中对随机图染色预测阈值的猜测，我们怀疑本结果在该方法下已最优。