有限正则性下因果传播子的Sobolev波前集

给定维数为四、正则性为$C^\tau$的全局双曲时空$M=\mathbb{R}\times \Sigma$，我们估计Klein-Gordon算子的因果传播子$K_G$的Sobolev波前集。在光滑情形下，传播子满足$WF'(K_G)=C$，其中$C\subset T^*(M\times M)$由满足如下条件的点$(\tilde{x},\tilde{\xi},\tilde{y},\tilde{\eta})$组成：$\tilde{\xi},\tilde{\eta}$分别在$\tilde{x}$和$\tilde{y}$处切于零测地线$\gamma$，并沿$\gamma$相互平行移动。我们证明对于$\tau>2$，对任意${\epsilon}>0$有$WF'^{-2+\tau-{\epsilon}}(K_G)\subset C$。此外，在正则性$C^{\tau+2}$且$\tau>2$时，对$0<\epsilon<\tau+\frac{1}{2}$成立$C\subset WF'^{-\frac{1}{2}}(K_G)\subset WF'^{\tau-\epsilon}(K_G)\subset C$。在$\Sigma$紧致的超静态情形下，我们对$\epsilon >0$且$\tau>2$证明$WF'^{-\frac{3}{2}+\tau-\epsilon}(K_G)\subset C$，并对$\tau>3$且$\epsilon<\tau-3$证明$WF'^{-\frac{3}{2}+\tau-\epsilon}(K_G)= C$。此外，我们证明传播子$K_G$的全局正则性与光滑情形一样为$H^{-\frac{1}{2}-\epsilon}_{loc}(M\times M)$。