低正则性下重力-毛细波系统的仿微分约化及其应用

在本文中，我们考虑所有维度下的重力-毛细波系统，并采用 Zakharov/Craig-Sulem 表述。利用 Alazard-Burq-Zuily 引入的仿微分方法，我们将该系统对称化为一个拟线性色散方程，其主部阶数为 $3/2$。与早期研究相比，主要新颖之处在于该约化在拟线性偏微分方程的 Sobolev 正则性下执行：$H^s(R^d)$ 且 $s\textgreater{}3/2+d/2$，$d$ 为自由表面的维数。由此约化，我们推导出一个仅涉及速度迹的 Lipschitz 范数与自由表面的 $C^{5/2+}$-范数的爆破准则。此外，我们利用 Strichartz 范数的控制获得了 $H^s$-范数下的先验估计以及解映射在 $H^{s-3/2}$-范数下的压缩。这些结果已应用于我们的 companion paper 中建立非 Lipschitz 初始速度的局部适定性理论。