具有常涡量的重力-毛细水波的 Hamiltonian Birkhoff 规范型：几乎全局存在性

我们证明了具有常涡量的一维重力-毛细水波方程的小振幅空间周期解的几乎全局时间存在性结果。该结果对于任意重力、涡量与深度值，以及属于一个全测度集的任意表面张力均成立。证明需要在存在共振波相互作用的情况下，对拟线性偏微分方程进行 Hamiltonian 仿微分 Birkhoff 规范型约化：该规范型可能不可积，但由于其 Hamiltonian 性质，它能够保持 Sobolev 范数。一个主要困难在于，用于证明局部适定性的常用仿微分微积分（如著名的 Alinhac 优良未知量）并不保持 Hamiltonian 结构。本文的一个主要创新点是开发了一种 Darboux 式的算法微扰程序，将常用的仿微分变换修正为辛映射，直至任意齐次度。这些辛修正子表现为恒等式的光滑微扰，因此仅略微修改了方程的仿微分结构。恢复非线性 Hamiltonian 结构的 Darboux 程序被写在一个抽象的泛函框架中，以便也能适用于其他情形。