具有恒定涡度的孤立重力 - 毛细水波的存在性与条件能量稳定性

我们提出了有限深度水体表面具有恒定涡度的重力 - 毛细孤立波的存在性与稳定性理论。利用经典变分原理的旋转版本，我们证明了在约束 $\mathcal I=2\mu$ 下波能 $\mathcal H$ 的最小值存在，其中 $\mathcal I$ 为波动量且 $0< \mu \ll 1$。由于 $\mathcal H$ 和 $\mathcal I$ 均为守恒量，标准论证断言最小值集合 $D_\mu$ 是稳定的：从 $D_\mu$ 附近出发的解在其存在区间内，在适当定义的能量空间中仍保持接近 $D_\mu$。在应用数学文献中，此类孤立水波由 Korteweg-deVries 方程（强表面张力情形）或非线性 Schrödinger 方程（弱表面张力情形）的解来描述。我们表明，通过变分方法检测到的波在适当重标度后，当 $\mu \downarrow 0$ 时收敛于相应模型方程的解。