三维重力-毛细水波系统的全局解

本文中，我们证明了在重力和表面张力共同作用下，三维全水波系统对于小数据的全局正则性。这一问题呈现出在所有早期其他水波模型的全局正则性结果中均不存在的本质困难。为构造全局解，我们结合了能量估计与匹配的色散估计。在我们的问题中证明能量估计存在一个显著的新困难，即解的慢点态衰减（不优于 $|t|^{-5/6}$）与大量余维 1 的二次时间共振集的存在相结合。为处理此种情形，我们在此提出一种新机制，其利用了时间共振超曲面的非退化性质以及非线性项二次部分的某种特殊结构，该结构与系统的守恒能量相关。色散估计依赖于傅里叶空间中 Duhamel 公式的分析。主要贡献来自时空共振集，这是一个维数为 1 的大集。为控制相应的双线性相互作用，我们使用调和分析技术，例如傅里叶空间中的正交论证与函数的原子分解。最重要的是，我们构造并使用了一种适应问题几何的精细范数。