离散与紧全不连通阿贝尔群的 Skitovich-Darmois 定理

设 $X$ 为形如 $X=\mathbb{R}^m\times K\times D$ 的阿贝尔群，其中 $m\geq 0$，$K$ 为特殊形式的紧全不连通群，$D$ 为离散群。设 $\xi_i, i=1,2,...,n,n\geq 2,$ 为取值于 $X$ 且分布为 $\mu_i$ 的独立随机变量，$\alpha_{ij},i,j=1,2,...,n,$ 为 $X$ 的拓扑自同构。我们证明了线性形式 $L_j=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{ij}\xi_i,j=1,2,...,n,$ 的独立性意味着所有 $\mu_i$ 均为高斯分布与幂等分布的卷积。该定理可视为关于 $n$ 个线性形式的著名 Skitovich-Darmois 定理在群 $X$ 上的推广。