零连通分支维数为1的局部紧Abel群上的Heyde定理

设$X$为零连通分支维数为1的局部紧Abel群。设$\xi_1$与$\xi_2$为取值于$X$且特征函数不为零的独立随机变量。我们证明，若群$X$的拓扑自同构$\alpha$满足条件${{\rm Ker}(I+\alpha)=\{0\}}$，且给定${L_1 = \xi_1 + \xi_2}$时线性形式${L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2}$的条件分布是对称的，则$\xi_j$的分布是$X$上高斯分布与支撑在子群$\{x\in X:2x=0\}$中的分布的卷积。该结果可视为著名的实线上高斯分布刻画Heyde定理的推广。