不含拓扑同构于二维环面子群的局部紧阿贝尔群上的Heyde定理

我们证明了著名的关于实数线上高斯分布特征化的Heyde定理的如下群类比。设$X$是第二可数局部紧阿贝尔群，且不包含拓扑同构于二维环面的子群。设$G$是由$X$中所有$2$阶元素生成的子群，$\alpha$是群$X$的拓扑自同构，满足${\rm Ker}(I+\alpha)=\{0\}$。设$\xi_1$和$\xi_2$是取值于$X$的独立随机变量，其分布$\mu_1$和$\mu_2$具有非消失特征函数。如果线性形式$L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2$在给定$L_1 = \xi_1 +\xi_2$下的条件分布是对称的，则$\mu_j$是$X$上的高斯分布与支撑在$G$中的分布的卷积。我们还证明，如果$X$是二维环面，则该定理不成立。