关于 p-adic 数群的一个刻画定理

众所周知，Heyde 给出了实直线上高斯分布的刻画：设 $\xi_1, \xi_2,\dots, \xi_n$, $n\ge 2,$ 为独立随机变量，$\alpha_j, \beta_j$ 为非零常数，且对所有 $i \ne j$ 满足 $\beta_i\alpha_i^{-1} + \beta_j\alpha_j^{-1} \ne 0$。若线性型 $L_2 = \beta_1\xi_1 + \beta_2\xi_2+ \cdots + \beta_n\xi_n$ 在给定 $L_1 = \alpha_1\xi_1 + \alpha_2\xi_2+\cdots + \alpha_n\xi_n$ 下的条件分布是对称的，则所有随机变量 $\xi_j$ 均为高斯分布。本文在随机变量取值于 $p$-adic 数群 $\Omega_p$ 且线性型系数为 $\Omega_p$ 的拓扑自同构的情形下，针对两个独立随机变量证明了该定理的一个类似结果。