关于极小 Abel 拓扑群的 Prodanov-Stoyanov 定理的定量化推广

拓扑群 $X$ 被定义为具有紧指数（compact exponent），如果对于某个数 $n\in\mathbb N$，集合 $\{x^n:x\in X\}$ 在 $X$ 中具有紧闭包。任何这样的数 $n$ 称为 $X$ 的紧指数。我们的主要结论指出，一个完备的 Abel 拓扑群 $X$ 具有紧指数（等于 $n\in\mathbb N$）当且仅当对于到拓扑群 $Y$ 的任何单射连续同态 $f:X\to Y$ 以及每个 $y\in \bar{f(X)}$，存在一个正数 $k$（等于 $n$）使得 $y^k\in f(X)$。该结论有许多有趣的推论：(1) 一个 Abel 拓扑群是紧的当且仅当它在每个较弱的 Hausdorff 群拓扑中都是完备的；(2) 每个极小 Abel 拓扑群都是预紧的（这就是著名的 Prodanov-Stoyanov 定理）；(3) 一个拓扑群 $X$ 是完备的且具有紧指数，当且仅当它在每个包含 $X$ 作为拓扑子群的 Hausdorff 半拓扑群中是闭的（这证实了 Banakh 和 Ravsky 的一个旧猜想）。