反对称函数在非局部方程中的作用

我们证明了带零阶项的分数阶拉普拉斯算子Dirichlet问题之反对称上解的Hopf型引理。作为应用，我们将此类Hopf型引理与移动平面法结合，证明了半线性分数阶平行曲面问题的对称性。即我们证明：在有界开集 $\Omega \subset \mathbb R^n$ 中，若半线性分数阶拉普拉斯算子Dirichlet问题的非负解有一个水平面平行于 $\Omega$ 的边界，则其必为径向对称；进而 $\Omega$ 必为球。此外，我们讨论了分数阶情形下反对称函数的最大值原理与Harnack不等式，并给出了当仅对解施加“局部”假设时这些定理的反例。