正根偏序集及其相关偏序集

设 $\Delta$ 为一个带正根子集 $\Delta^+$ 的根系。我们考虑与 $\Delta^+$ 相关的若干偏序集的 Hasse 图的边。对每条边自然可定义其类型，并研究边集按类型的划分。对 $\Delta^+$，类型为单根；对幂零理想与 Abel 理想偏序集，类型为仿射单根。我们给出给定类型边集的几种描述及边数的统一表达式。由 Peterson 的一个结果，Abel 理想的个数为 $2^n$，其中 $n$ 为 $\Delta$ 的秩。我们证明相应 Hasse 图的边数为 $(n+1)2^{n-2}$。对 $\Delta^+$ 与 Abel 理想，我们计算各类型的边数，并证明类型为 $\alpha$ 的边数仅依赖于 $\alpha$ 的长度。