博雷尔子代数的阿贝尔理想与长正根

设 $\b$ 为单李代数 $\g$ 的博雷尔子代数，$\Ab$ 表示 $\b$ 的所有阿贝尔理想的集合。我们将 $\Ab$ 按包含关系视为偏序集，零理想是 $\Ab$ 的唯一极小元。在我与 G.Roehrle 的论文中（Adv. Math. v.159 (2001)）已证明极大阿贝尔理想与 $\g$ 的长单根之间存在一一对应。但该对应之存在性是以逐情形方式论证的。本文给出这一经验性观察的概念性解释。主要结果为：1) 存在从所有非平凡阿贝尔理想集到长正根集的自然映射 $\tau$；2) 若 $I$ 为极大阿贝尔理想，则 $\tau(I)$ 为长单根。将 $\tau$ 限制于极大阿贝尔理想集上即给出上述对应；3) $\tau$ 的每条纤维自身构成偏序集，我们证明该纤维有唯一极大元与唯一极小元；4) 给出了对应于一个长根的极小与极大理想的显式描述。