关于 Borel 子群在阿贝尔理想中轨道的研究

设 $B$ 为半单代数群 $G$ 的一个 Borel 子群，并设 $\mathfrak a$ 为 $\mathfrak b=Lie(B)$ 的一个阿贝尔理想。该理想 $\mathfrak a$ 由正根的某一特定子集 $\Delta_{\mathfrak a}$ 确定，利用 $\Delta_{\mathfrak a}$，我们给出了 $\mathfrak a$ 和 $\mathfrak a^*$ 中 $B$-轨道的显式分类。我们的描述直观地表明，在两种情况下均存在有限多个 $B$-轨道。我们还描述了 $\mathfrak a$ 和 $\mathfrak a^*$ 中 $B$-轨道之间的 Pyasetskii 对应以及不变代数 $\Bbbk[\mathfrak a]^U$ 和 $\Bbbk[\mathfrak a^*]^U$，其中 $U=(B,B)$。作为应用，计算了阿贝尔幂零根基中 $B$-轨道的数量。我们还讨论了 A.Melnikov 等人关于经典群的相关结果，并提出了关于阿贝尔幂零根基中 $B$-轨道的闭包与维数的一个一般性猜想，该猜想利用了 $B$-轨道与 Weyl 群中对合之间的关系。