$A_{n}$ 型模态为零的 Borel 子群幂零轨道的定义方程

设 $G$ 为定义在代数闭域 $k$ 上的拟单代数群，$B$ 为 $G$ 的一个 Borel 子群，通过伴随表示作用于其李代数 $\mathfrak{b}$ 的幂零根基 $\mathfrak{n}$。已知 $B$ 仅在五种情况下具有有限多条轨道：当 $G$ 为 $n \leq 4$ 的 $A_{n}$ 型时，以及当 $G$ 为 $B_{2}$ 型时。在本文中，我们针对 $n \leq 4$ 时 $G =SL_{n +1}(k)$（$A_{n}$ 型）的情况，通过求出每条轨道的多项式定义方程，对这项工作进行了详细阐述。这些方程的推论包括轨道的维度和轨道集上的闭包序，尽管这些事实已知。另一种情况，即 $G$ 为 $B_{2}$ 型时，可以用同样的方法处理，并在另一篇论文中讨论，我们认为在该文中闭包序的确定是新的。