细开集上细 $p$-调和函数的 Perron 方法

给定有界细开集 $V$ 及 $V$ 的细边界上的函数 $f$，我们针对以 $f$ 为边界数据的 $p$-能量极小元（$1<p<\infty$）的非线性 Dirichlet 问题引入四类上 Perron 解。这些解给出为 $V$ 中适当族细 $p$-超极小元的逐点下确界。我们证明（在自然假设下）四类上 Perron 解拟处处相等，且它们是 $p$-能量积分的细 $p$-极小元。我们进一步证明对 Sobolev 与一致连续边界数据，上、下 Perron 解拟处处重合，即此类边界数据是可解的。对一致连续边界数据，Perron 解也被证明是细连续的，从而是细 $p$-调和的。我们在配备加倍测度并支持 $p$-Poincar\'e 不等式的完备度量空间 $X$ 中证明结果，但即便在无权 $\mathbf{R}^n$ 中也是新的。