狄利克雷原理与 Perron 方法等价性的直接证明

我们给出一个简短的证明，证明对于有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 上的连续边界数据 $g\in C(\partial\Omega)$ 且 admits a continuous finite-energy extension $\phi\in H^{1}(\Omega)\cap C(\bar\Omega)$，狄利克雷能量最小化子 [ E(v) = \int_{\Omega} |\nabla v|^{2}\,dx, \qquad v-\phi\in H^{1}_{0}(\Omega), ] 与 Dirichlet 问题 $\Delta u = 0$ in $\Omega$ 带边界数据 $g$ 的 Perron 解 $h_g$ 完全相同。该论证完全在 $H^{1}(\Omega)$ 中进行，仅使用严格凸性、狄利克雷能量的强收敛、Friedrichs 不等式、Weyl 引理以及由规则子域构成的 Wiener 耗尽。无需弱收敛、分布右端源的 Poisson 问题或一般椭圆理论。