圆周上的周期$\mu$-$b$方程与欧拉方程

本文研究周期$b$方程的$\mu$变体，并证明该方程可被实现为李群$\Diff^{\infty}(\S)$上的度量欧拉方程当且仅当$b=2$（此时它变为$\mu$-Camassa-Holm方程）。在此情形下，生成$\Diff^{\infty}(\S)$上度量的惯性算子由$L=\mu-\partial_x^2$给出。相比之下，$\mu$-Degasperis-Procesi方程（当$b=3$时得到）对于任何正则惯性算子$A\in\mathcal L_{\text{is}}^{\text{sym}}(C^{\infty}(\S))$都不是$\Diff^{\infty}(\S)$上的度量欧拉方程。本文推广了[J. Escher and B. Kolev, DOI 10.1007/s00209-010-0778-2]、[J. Escher and J. Seiler, J. Math. Phys. 51 (2010), 053101.1-053101.6]和[B. Kolev, Wave Motion 46 (2009), 412-419]的一些近期结果。