双分量 Camassa--Holm 系统的 Lipschitz 度量

我们为直线上双分量 Camassa--Holm 系统 $u_t-u_{txx}+3uu_x-2u_xu_{xx}-uu_{xxx}+\rho\rho_x=0$ 和 $\rho_t+(u\rho)_x=0$ 的柯西问题保守解构造了一个 Lipschitz 度量，其中给定初值 $(u_0, \rho_0)$。该 Lipschitz 度量 $d_{\D^M}$ 具有如下性质：对于系统的两个解 $z(t)=(u(t),\rho(t),\mu_t)$ 和 $\tilde z(t)=(\tilde u(t),\tilde \rho(t),\tilde \mu_t)$，当 $t\in[0,T]$ 时，有 $d_{\D^M}(z(t),\tilde z(t))\le C_{M,T} d_{\D^M}(z_0,\tilde z_0)$。此处测度 $\mu_t$ 的绝对连续部分等于能量 $(u^2+u_x^2+\rho^2)(t)dx$，且解被限制在半径为 $M$ 的球内。