直线上 Camassa-Holm 方程的 Lipschitz 度量

我们研究了直线上 Camassa-Holm 方程 $u_t-u_{xxt}+3uu_x-2u_xu_{xx}-uu_{xxx}=0$ 带有初始数据 $u_0$ 的 Cauchy 问题解的稳定性。特别地，我们推导了一个新的 Lipschitz 度量 $d_\D$，其具有如下性质：对于该方程的两个解 $u$ 和 $v$，有 $d_\D(u(t),v(t))\le e^{Ct} d_\D(u_0,v_0)$。我们阐明了该度量与 $H^1$ 和 $L^\infty$ 中通常范数之间的关系。该方法可推广至广义超弹性杆方程 $u_t-u_{xxt}+f(u)_x-f(u)_{xxx}+(g(u)+\frac12 f''(u)(u_x)^2)_x=0$（其中 $f$ 无拐点）。