完备 Tate 代数具有不可数 Krull 维数

设 $K$ 为具有伪一致化元 $\pi$ 的完备域。我们改编 Du 在 \cite{DuUncountable} 中的论证，证明完备 Tate 代数 $K\langle x^{1 / p^{\infty}} \rangle$ 具有一条由不同素理想组成的不可数链。首先，我们概念化 Du 的论证，在环上定义“Newton 多边形形式体系”这一概念。我们证明在存在充分非离散的 Newton 多边形形式体系时 Du 定理的一个版本。随后，我们通过一种“非标准”的 Newton 多边形形式体系（大致上，级数变量 $x$ 与伪一致化元 $\pi$ 的角色被交换）将我们的框架应用于完备 Tate 代数。我们利用单变量情形得出关于多变量完备 Tate 代数的类似结论。