阿布赫阿卡尔 valuation、普鲁弗-马尼斯 valuation 与完美oid Tate代数

设$K$为完美oid域。我们描述了完美oid Tate代数\n\begin{equation*}T_{n,K}^{\text{perfd}}=K\langle X_{1}^{1/p^{\infty}},\dots, X_{n}^{1/p^{\infty}}\rangle\end{equation*}\n在任意变量数$n\geq1$中的所有商域，涉及Berberich几何中出现的非阿尔米尔鲍夫域$K_{r_1,\dots,r_l}$。我们证明，每一个商域\n\begin{equation*}L=T_{n,K}^{\text{perfd}}/\mathfrak{m}\end{equation*}\n都是$K_{r_1,\dots,r_l}^{\text{perfd}}$的半直接扩张$\text{ht}(\mathfrak{m}^{\flat}\cap (T_{n,K^{\flat}})^{\text{coperf}}),n-1)$，从而确定了可能的商域$L$的值群和剩余域。此外，我们展示如果\n\begin{equation*}\mathfrak{m}^{\flat}\cap(T_{n,K^{\flat}})^{\text{coperf}}\neq 0,\end{equation*}\n至少有一个半径$r_{i}$必须是非有理的，即\n\begin{equation*}r_{i}\not\in\sqrt{|K^{\times}|}.\end{equation*}\n我们证明的主要工具是“拓扑简单”valuation的概念，这是对$\text{Spa}(K\langle T\rangle)$上点的分类中类型(IV)点的推广，适用于更高维多圆盘的情况。我们也考虑“有理阿布赫阿卡尔”valuation和“非有理阿布赫阿卡尔”valuation，分别是类型(II)和(III)点的推广。我们从拓扑简单绝对值和阿布赫阿卡尔绝对值在普通Tate代数上的描述中推导出我们的主要结果。顺便我们还显示，我们的拓扑简单valuation等价于Knebusch-Zhang意义上的普鲁弗-马尼斯valuation。最后，我们还展示所有允许的商域$L$确实都可以实现(即，上述界限$l\leq n-1$是最佳的)，通过推广Gleason的例子。