诺特性在完美超越域扩张下的保持

设 $k$ 为特征 $p>0$ 的完美域，$k(t)_{per}$ 为 $k(t)$ 的完美闭包，$A$ 为 $k$-代数。我们刻画环 $A\otimes_k k(t)_{per}$ 是否为诺特环。作为推论，我们证明当 $A$ 是 $k$ 上 $n$ 个未定元的形式幂级数环时，环 $A\otimes_k k(t)_{per}$ 是诺特的。