帕累托记录边界

对于具有独立 Exponential$(1)$ 坐标的 iid $d$ 维观测 $X^{(1)}, X^{(2)}, \ldots$,考虑在时间 $n$ 处闭帕累托记录设定(RS)区域 \mbox{RS}_n := \{0 \leq x \in {\mathbb R}^d: x \not\prec X^{(i)}\ \mbox{for all $1 \leq i \leq n$}\} 的边界(相对于闭正象限),或“边界” $F_n$,其中 $0 \leq x$ 表示对 $1 \leq j \leq d$ 有 $0 \leq x_j$,且 $x \prec y$ 表示对 $1 \leq j \leq d$ 有 $x_j < y_j$。令 $x_+ := \sum_{j = 1}^d x_j$,设 $$F_n^- := \min\{x_+: x \in F_n\} \quad \mbox{and} \quad F_n^+ := \max\{x_+: x \in F_n\},$$ 并将 $F_n$ 的宽度定义为 $$W_n := F_n^+ - F_n^-.$$ 我们描述了过程 $F^+$、$F^-$ 和 $W$ 的典型行为与几乎必然行为。特别地,我们证明 $F^+_n \sim \ln n \sim F^-_n$ 几乎必然成立,且 $W_n / \ln \ln n$ 依概率收敛于 $d - 1$;对于 $d \geq 2$,我们证明几乎必然地,序列 $W_n / \ln \ln n$ 的极限点集为区间 $[d - 1, d]$。我们还获得了与帕累托记录高效模拟相关的重要结果修正。令 $T_m$ 表示第 $m$ 个记录被设定的时刻。我们证明 $F^+_{T_m} \sim (d! m)^{1/d} \sim F^-_{T_m}$ 几乎必然成立,且 $W_{T_m} / \ln m$ 依概率收敛于 $1 - d^{-1}$;对于 $d \geq 2$,我们证明几乎必然地,序列 $W_{T_m} / \ln m$ 的 $\liminf$ 等于 $1 - d^{-1}$,$\limsup$ 等于 $1$。